Pragnienie odwzorowywania wizualnego aspektu rzeczywistości towarzyszyło naszemu gatunkowi najprawdopodobniej od samego zarania homo sapiens, o czym świadczą chociażby prehistoryczne naskalne malowidła w grotach Lascaux czy Altamira. W starożytności, szczególnie za sprawą wielkich greckich matematyków takich jak Tales z Miletu czy Archimedes, sposób ujmowania kształtów i zależności, jakie między nimi zachodzą, przybrał ściśle sformalizowaną i idealistyczną formę do tego stopnia, że niektórzy filozofowie, np. Platon, byli przekonani, iż nasz świat jest tylko bladym odbiciem świata doskonałego, świata Idei, w którym istnieją doskonałe koła czy linie proste. Jednym z największych dzieł poświęconych temu tematowi jest powstała około III wieku p.n.e "Geometria" napisana przez Euklidesa. Praca ta na wiele stuleci określiła tory geometrycznych aksjomatów, po których poruszały się zarówno malarskie wizje natchnionych artystów, jak i nie mniej natchnione architektoniczne projekty inżynierskie.

Oblicze klasycznej geometrii euklidesowej zaczęło gwałtownie zmieniać się na przełomie XIX i XX wieku. Mniej więcej w tym czasie, obok geometrii nieeuklidesowej, której zasady zostały opracowane przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łobaczewskiego oraz jego niemieckiego kolegę po fachu Georga Riemanna, zaczęła kształtować się geometria fraktalna.


Narodziny nieskończoności

Pierwsze zdefiniowane matematycznie typowe przykłady fraktali to m.in.: zbiór Cantora, dywan Sierpińskiego czy płatek śniegu von Kocha. Kolejne kroki powstawania tych obiektów zostały przedstawione na poniższym rysunku. Na pozór wyglądają dość niewinnie, jednak zrozumienie ich natury może wywołać w nas silny szok. Czym różnią się one od klasycznych figur geometrycznych?





Chcąc w najprostszy sposób odpowiedzieć na to pytanie, można posłużyć się następującą definicją: fraktal to figura geometryczna o złożonej strukturze, którą cechuje samopodobieństwo - obrazy struktury fraktala przedstawione w różnej skali zawsze odpowiadają sobie w jakiś sposób, przypominają inne jego fragmenty i przy powiększaniu nie tracą swej wyrazistości.

Gdybyśmy wielokrotnie powiększyli krawędź elipsy albo okręgu, to zauważylibyśmy, że jej krzywizna zaczyna się coraz bardziej "wygładzać", upodabniając się do odcinka prostego. Natomiast powiększany fraktal zachowuje się zupełnie inaczej, jako że nie jest on ani krzywą, ani powierzchnią, ani bryłą w znaczeniu klasycznej geometrii.

Można wyjaśnić to na prostym przykładzie konstruowania krzywej von Kocha, która powstaje poprzez zastępowanie wszystkich boków trójkątnego "ząbka" kolejnym "ząbkiem". By uzyskać idealny płatek śniegu von Kocha, należałoby powtarzać kolejne kroki powyższej procedury w nieskończoność - oznacza to, że na skończonej powierzchni mieści się nieskończenie długa linia łamana złożona z nieskończonej liczby mniejszych elementów. Z tego powodu fraktale są czymś nieuchwytnym - możemy postrzegać tylko fragment fraktala, nigdy nie będziemy mogli wyjść poza horyzont naszej wzrokowej percepcji i podziwiać jego pełnego rozwinięcia w nieskończoności.


Irracjonalna percepcja

Nie wdając się w matematyczne zawiłości, z powyższego faktu można wyciągnąć szokujący dla naszego zdrowego rozsądku wniosek: wymiar fraktala jest liczbą ułamkową, w przeciwieństwie do całkowitych wymiarów figur płaskich czy brył. Wymiar fraktala może być równy np. 0.631 albo 2.727, stąd też wzięła się nazwa tego rodzaju obiektów, słowo "fractus" znaczy po łacinie "częściowy", "ułamkowy". Wydaje się to dziwne i niezgodne z naszym intuicyjnym rozumieniem rzeczywistości, ale właśnie taka, z pozoru irracjonalna, jest natura fraktali. Sto lat temu wielu matematyków uważało fraktale za "patologiczne" formy, ponieważ tak dalece odbiegały one od obowiązującego wówczas paradygmatu naukowego.

Fraktale nie są jednak irracjonalne, to raczej nasz nawykowy sposób postrzegania świata jest zbyt ograniczony, ponieważ obiekty fraktalne powstają poprzez stosowanie ścisłych matematycznych reguł, tzw. funkcji iteracyjnych, czyli powtarzalnych "przepisów", których wartości stają się danymi wejściowymi dla ich kolejnych powtórzeń. By uzyskać interesujący kształt, należy przeprowadzić od kilkudziesięciu tysięcy do nawet milionów czy też miliardów powtórzeń takich funkcji. Z powodu tej obliczeniowej złożoności geometria fraktalna znacząco rozwinęła się dopiero po powstaniu komputerów o dużej mocy obliczeniowej.


Zaskakujące odkrycie

Opierając się na różnych formułach iteracyjnych i różnych parametrach wejściowych, można uzyskać wiele ciekawych pod względem kompozycyjnym struktur. Prawdopodobnie najbardziej znanym fraktalem jest żuk Mandelbrota, przedstawiony na przełomie lat 70. i 80. ubiegłego wieku przez twórcę teorii fraktali, urodzonego w Warszawie żydowsko-francuskiego matematyka i informatyka Benoit B. Mandelbrota.

Mandelbrot wyemigrował w latach pięćdziesiątych XX wieku z Francji do Stanów Zjednoczonych i podjął pracę dla koncernu IBM, dzięki czemu uzyskał dostęp do najnowocześniejszych komputerów, co umożliwiło mu zaawansowane badanie zachowań funkcji iteracyjnych. Swoje badania opierał m.in. na pracach francuskiego matematyka Gastona Julii, który podczas I Wojny Światowej opracował "przepis" pewnej iteracyjnej funkcji.

Wykresy, jakie otrzymał Mandelbrot, przerosły wszelkie jego oczekiwania. Przedstawiały one niezwykle skomplikowane desenie, które przy powiększaniu wykazywały typowe dla fraktali tendencje do samopodobieństwa i nieskończonej wyrazistości. Mandelbrot, zafascynowany odkrytą przez siebie graficzną strukturą, przyczynił się do wielkiej popularyzacji nie tylko grafiki fraktalnej, ale także związanych ściśle z teorią fraktali takich dziedzin współczesnej nauki jak teoria chaosu czy teoria dziwnych atraktorów.

Teorie te nie służą jedynie generowaniu złożonych kolorowych obrazów po to, by zaspokoić estetyczne potrzeby człowieka, mają one również praktyczne zastosowanie. Za ich pomocą modeluje się różnorakie zjawiska spotykane w przyrodzie, począwszy od struktury polimerów i systemów komórkowych, a na liniach brzegowych, chmurach i ewolucji galaktyk skończywszy. Teorie te wykorzystywane są również do tworzenia szczególnie wydajnych algorytmów kompresji danych, a także do śledzenia chaotycznych procesów w dynamicznych układach fizycznych, czy też badania pewnych harmonicznych struktur w muzyce (protoplasta muzyki ambient, Brian Eno, przy użyciu programu SSEYO KOAN PRO stworzył serię fraktalnych kompozycji, które umieścił na płycie zatytułowanej "Generative Music 1").


Od pragmatyzmu i estetyki ku mistyce

Naukowcy coraz bardziej zaczęli utwierdzać się w przekonaniu, że klasyczna geometria nie nadaje się do dokładnego opisu wysokiego poziomu złożoności świata, ponieważ odpowiada ona tylko pewnemu niezbyt dokładnemu przybliżeniu zachodzących w nim zjawisk. Galileusz mylił się, twierdząc w XVII wieku, że alfabetem natury są proste figury geometryczne. Natomiast zacytowany na wstępie tego artykułu Benoit B. Mandelbrot trafnie zauważył, że dość sztywne euklidesowe podejście nie jest w stanie ująć w szczegółach całego bogactwa świata materialnych form.

Co ciekawe, podobną myśl wyraził już William Blake, wielki angielski poeta, malarz i rytownik, żyjący na przełomie XVIII i XIX wieku. Jego nasycone mistycznym doświadczeniem słowa: "Gdyby oczyścić drzwi percepcji, każda rzecz jawiłaby się taka, jaka jest, nieskończona", stały się inspiracją dla nazwy zespołu The Doors, którego liderem był Jim Morrison, jeden z proroków hippisowskiej rewolucji lat sześćdziesiątych. Z podobnym jak u Blake'a podejściem możne spotkać się również w filozofiach Wschodu, np. według buddyjskich nauk każda materialna forma wskazuje na nieskończoną i nieuchwytną przy pomocy zwykłej percepcji współzależną naturę wszystkich zjawisk, które poprzez wzajemne relacje tkają bogaty kobierzec rzeczywistości.

Może zabrzmi to jak paranoiczne wyznanie, ale fraktale są wszędzie wokół nas. Wystarczy tylko z uwagą przyjrzeć się temu, co ukazuje się przed naszymi oczami, by doświadczyć ich wszechprzenikającej obecności. Od kilkunastu lat, dzięki kolejnym generacjom narzędzi pomagającym artystom w twórczej eksploracji tych struktur zaczęły także szukać swego miejsca w sztukach wizualnych.